SIDEBAR
»
S
I
D
E
B
A
R
«
Octaedre truncat en flor o Octaedre de cubs
Nov 23rd, 2012 by DARIO

 

I per fi un èxit! Aquesta és una bona figura: consistent i gran. Clarament es veu un octaedre, vuit cares triangulars; però no és l’esquema de l’octaedre el que hem fet servir per construir-lo, sinó el de l’octaedre truncat (un altre arquimedià). Vegem-lo:

Per construir la nostra figura hem fet servir l’esquema de l’octaedre truncat, que està format per vuit cares hexagonals i sis cares quadrades, les quals nosaltres omplirem amb les respectives flors hexagonals i quadrades. A més, l’esquema té 36 arestes, per a les quals hem emprat 36 fixes blanques. A mig camí de la construcció teníem això:

Per guardar certa harmonia i simetria, he fet dues flors flors de cada color i les hem muntat enfrontades.

Aquesta és la figura més gran que he fet fins ara, en nombre de peces. Contem-les: 6 flors quadrades, 6×4, 8 hexagonals, 8×6, i 36 mòduls per a les arestes. Total: 24 + 48 + 36 =108 mòduls.

I ara, animats per aquesta bona feina, vegem quins son el pròxims passos als arquimedians:

Aquestos son, en eixe ordre, el Petit rombicuboctaedre, el Cuboctaedre truncat (o Gran rombicuboctaedre) i el Cub xato. I seran els esquemes que intentaré seguir per a les pròximes figures. No prometen molt la veritat: al primer i al últim veig massa triangles i ja sabem per experiència que les nostres flors triangulars tendeixen a amuntegar-se amb les altres i ocupar tot espai lliure dificultant la construcció i l’acabat de la figura. I del cuboctaedre truncat ja ens podem acomiadar per què fa ús de sis octògons i ja vam veure el que passava amb les flors octogonals… (veure Fracassos: Cub truncat).

Bé, fins al pròxim plec.

Fracassos: Cuboctaedre truncat i Cub truncat
Nov 12th, 2012 by DARIO

Una mala setmana la té qualsevol. Les figures que he intentat construir (“descobrir”) no m’han donat cap satisfacció.

Partíem, com estàvem fent, d’utilitzar el models dels sòlids arquimedians per cobrir les seues cares amb les denominades flors sonobé. Ja vam tractar el cas més simple (menys cares), el tetraedre truncat, i va sortir bé. La idea era, i és, continuar provant amb la resta dels 13 arquimedians. Els següents son el cuboctaedre i cub truncats.

Comencem amb el primer, el cuboctaedre, què és el resultat de tallar-li les puntes tant a un cub com a un octaedre. I està format per  14 cares, 6 de les quals són quadrades i 8 triangulars, cada una de les seves 24 arestes separa una cara quadrada d’una triangular i a cadascun dels seus 12 vèrtex i concorren dues cares quadrades i dues triangulars.

Per tant, nosaltres necessitarem, seguint la nostra guia de construcció, 6 flors quadrades i 8 triangulars, a més d’una peça per cada aresta. En total seran 6×4 + 8×3 + 24 = 24 + 24 +24 = 72 mòduls sonobé.

Comencem la construcció ara que ja sabem el que hem de fer. Conforme anem ajuntant les peces ens donem compte que aquestes es van solapant, formant una figura totalment atapeïda com ja ens va passar amb l’octaedre en flor. El resultat final és aquest:

 

Com podeu veure la figura es pot completar (no sense dificultat) i encara que dona una forma curiosa e interessant, totalment diferent al cuboctaedre, la tensió entre les peces és excessiva i les juntes s’obrin, trencant l’estètica i quasi la figura en sí.

Arribats a aquest punt, ens prem la necessitat d’arreglar-ho. Les peces blaves les quals hem utilitzat per fer la funció d’arestes estan ensopides entre flor i flor, i si les llevarem? Les flors mantenen un contacte total entre elles, si llevem la peça blava que les uneix podríem ajuntar-les directament. Sona prou bé. Ens fiquem a la feina i anem comprovant com a cada peça blava que llevem la figura s’afebleix considerablement encara que ajuntem les flors adjacents ara directament. Açò es deu a que el nou llaç entre les flors és molt més feble, de fet, els mòduls sonobé passen d’estar doblegats com usualment sonobe01, a fer-ho així sonobe04. I la figura es desmunta d’un bufit. Pot ser, agafant peces noves, que no estiguen ja doblegades per on no toca i construint la figura amb molta cura, pot ser trobarem un resultat acceptable, però sinó…

Ací tenim la mateixa figura de dalt però llevant les peces blaves que feien de arestes, no es sosté.

Amb mal sabor de boca desmuntem la figura, agafem les peces, respirem sonorament i ens preparem per utilitzar-les a un altre modelo. Però no s’ens oblida que ja teníem una figura com aquesta, atapeïda, l’octaedre en flor, i que podríem provar aquest mateix experiment (llevar les “arestes”) i veure què passa. Notem també que els mòduls passarien a estar doblegats així sonobe04i, a més, recordem que fa temps vam muntar una figura emprant aquest pleg: el cub sonobé gran. i ens fixem a les imatges veurem que és allò exactament el que ens sortiria. Ací sí obtindríem un bon resultat:

 

El segon fracàs:

El següent arquimedià de la llista és el cub truncat, format per octògons i triangles, vegem-ho:

Notem que tant el cub truncat com el cuboctaedre surten de truncar un cub. La diferència respon a com fem el tall de les puntes: si tallem pels punts mitjos de les arestes del cub obtindrem el cuboctaedre mentre que si el tall es fa més a prop del vèrtex es creen les cares hexagonals del cub truncat. En aquest cas, es talla pels punts els quals fan l’hexàgon regular.

Bé, el primer que ens crida l’atenció és el fet què haurem de treballar amb flors octogonals, recordem l’estrafolari resultat de les rodes octogonals. Muntem la primera flor de vuit pètals, no trobem cap problema. Afegim les arestes adjacents i ja podem veure que açò no es podrà acabar.

Així que res de res, acabem la jornada sense construir res de decent. Esperem que el pròxim atac ens surta millor.

 

I per passar pàgina a aquestos fracassos afegim hui un vídeo extern prou interessant sobre els hexaflexagons:

Tetraedre truncat amb flor o Tetraedre de cubs
Nov 2nd, 2012 by DARIO

Avancem el camí d’explorar els poliedres que podem formar amb flors sonobé. Ja hem  estudiat els casos dels sòlids platònics, comencem hui amb els arquimedians.

Un sòlid arquimedià és un poliedre convex les cares del qual estan formades per dos o més tipus de polígons regulars tal que els seus vèrtexs són homogenis. També es requereix que el políedre no sigui ni un prisma ni un antiprisma. Els políedres arquimedians són 13, i es diferencien dels sòlids platònics (o regulars), en què totes les cares dels sòlids platònics són iguals i dels sòlids de Johnson, en què els vèrtexs d’aquests últims no són homogenis. Açò diu la Viquipèdia al menys.

Comencem amb el primer, el que està format per menys cares: el tetraedre truncat.

Podem veure que és un tetraedre les puntes del qual han sigut tallades tal que les parets laterals son ara hexàgons regulars, i els talls han format noves cares triangulars.

Per tant, per construir aquesta figura necessitarem 4 triangles i 4 hexàgons. Utilitzarem 4 flors triangulars i 4 hexagonals. Això sumarà en mòduls sonobé un total de 4×3 + 4×6 + una per cada aresta = 12 + 24 + 18 = 54 peces.

I el resultat és el següent:

Bé, no es pareix en res al poliedre, el qual només l’hem emprat per assegurar-nos un resultat consistent i construïble. La figura que ens ha sortit té un bon acabat, és sòlida i harmònica. Però més bé es un tetraedre que no un de truncat, no? Aquest efecte prové principalment de les flors triangulars, que son massa destacades i acaben omplint el buit de les puntes tallades (truncades) del tetraedre.

Estic content amb la figura però em fot que una construcció que pensava anomenar tetraedre truncat, no estiga o no parega truncada. Així que o la canvie o li canvie el nom, no?

Respecte del nom, podem rebatejar-la com Tetraedre de cubs, que és el que pareix.

I respecte la forma, podem canviar-li-la perquè parega truncat de veres? Sí, al menys una miqueta ho podem arreglar. Vegem-ho:

Necessitem llevar les flors triangulars de les puntes i substituir-les per uns altres mòduls de forma triangular. Molt fàcil, ho tenim fet amb allò que vam anomenar com mòdul secundari:

I el resultat de canviar les flors per mòduls secundaris és:

Hem canviat la voluminosa flor en forma de cub per una xicoteta punta triangular. Encara així no dona la sensació de ser un tetraedre truncat sinó un hexàgon…… rar!

I a aquest últim, quin nom li posem? Doncs tetraedre truncat és el que li correspon.

Ací acaba el primer viatge pels arquimedians en flor, ens ha sortit prou bé, encara que diferent al que esperàvem. Ja veurem més exemples de cosos que no podem formar, com ens va passar amb l’icosaedre en flor, o d’altres de resultat estrany i atapeït com l’octaedre.

SIDEBAR
»
S
I
D
E
B
A
R
«
»  Substance:WordPress   »  Style:Ahren Ahimsa